DEMOSTRACION

Sea G un grafo conexo y ponderado.
En toda iteración del algoritmo de Prim, se debe encontrar una arista que conecte un nodo del subgrafo a otro nodo fuera del subgrafo.
Ya que G es conexo, siempre habrá un camino para todo nodo.
La salida Y del algoritmo de Prim es un árbol porque las aristas y los nodos agregados a Y están conectados.
Sea Y el árbol recubridor mínimo de G.
Si es el árbol recubridor mínimo.
Si no, sea e la primera arista agregada durante la construcción de Y, que no está en Y₁ y sea V el conjunto de nodos conectados por las aristas agregadas antes que e. Entonces un extremo de e está en V y el otro no. Ya que Y₁ es el árbol recubridor mínimo de G hay un camino en Y₁ que une los dos extremos. Mientras que uno se mueve por el camino, se debe encontrar una arista f uniendo un nodo en V a uno que no está en V. En la iteración que e se agrega a Y, f también se podría haber agregado y se hubiese agregado en vez de e si su peso fuera menor que el de e. Ya que f no se agregó se concluye:

Sea Y₂ el grafo obtenido al remover f y agregando . Es fácil mostrar que Y₂ conexo tiene la misma cantidad de aristas que Y₁, y el peso total de sus aristas no es mayor que el de Y₁, entonces también es un árbol recubridor mínimo de G y contiene a e y todas las aristas agregadas anteriormente durante la construcción de V. Si se repiten los pasos mencionados anteriormente, eventualmente se obtendrá el árbol recubridor mínimo de G que es igual a Y.
Esto demuestra que Y es el árbol recubridor mínimo de G.

GRAFO CONEXO:
Un grafo es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino; es decir, si para cualquier par de vértices (a, b), existe al menos un camino posible desde a hacia b.
Un grafo es fuertemente conexo si cada par de vértices está conectado por al menos dos caminos disjuntos; es decir, es conexo y no existe un vértice tal que al sacarlo el grafo resultante sea disconexo.
Es posible determinar si un grafo es conexo usando un algoritmo Búsqueda en anchura (BFS) o Búsqueda en profundidad (DFS).
En términos matemáticos la propiedad de un grafo de ser (fuertemente) conexo permite establecer con base en él una relación de equivalencia para sus vértices, la cual lleva a una partición de éstos en "componentes (fuertemente) conexas", es decir, porciones del grafo, que son (fuertemente) conexas cuando se consideran como grafos aislados. Esta propiedad es importante para muchas demostraciones en teoría de grafos.